Inhalt: Eine Vorlesung zur Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie gehört - neben den Standardvorlesungen Analysis und Lineare Algebra - zur Grundausbildung eines jeden Mathematikers. Vielen Studierenden bereitet der Umgang mit dem "Zufall" Schwierigkeiten. Das Ziel des vorliegenden Buches ist, eine leicht lesbare und gründliche Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie zu bieten; eine Vielzahl von anschaulichen und sorgfältig ausgewählten Beispielen soll den Studierenden helfen, den Zufall in den Griff zu bekommen. Dabei ist dem Autor eine klare und vollständige Darstellung der Theorie ebenso wichtig wie Beispiele und Abbildungen, die schwer aussehende Sachverhalte verdeutlichen. In zahlreichen Abbildungen und in über 100 Beispielen wird die Theorie illustriert und in verständlichen Worten formuliert. Der Inhalt des Buches ist klassisch und deckt eine erste Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie - der Theorie des Zufalls - ab.
Inhaltsverzeichnis: 1 Einleitung 1 2 Grundbegriffe 7 2.1 Messbare Räume 7 2.2 Wahrscheinlichkeitsmaße 12 2.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit 18 2.4 Das Lemma von Borel-Cantelli 27 3 Diskrete Verteilungen und Zufallsvariablen 31 3.1 Diskrete Verteilungen 31 3.2 Diskrete Zufallsvariablen und ihr Erwartungswert 39 4 Absolutstetige Verteilungen und Zufallsvariablen 47 4.1 Die Borel'sche a-Algebra 47 4.2 Absolutstetige Verteilungen 49 4.3 Absolutstetige Zufallsvariablen und ihr Erwartungswert 62 5 Verteilungen auf der reellen Achse 69 5.1 Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsmaßen 69 5.2 Erzeugendensysteme der Borel'schen a-Algebra 74 5.3 Verteilungsfunktionen 75 5.4 Diskrete Verteilungen 82 5.5 Absolutstetige Verteilungen 85 6 Zufallsvariablen und ihr Erwartungswert 91 6.1 Zufallsvariablen und Messbarkeit 91 6.2 Der Erwartungswert für elementare Zufallsvariablen 100 6.3 Der Erwartungswert für nichtnegative Zufallsvariablen 103 6.4 Der Erwartungswert für integrierbare Zufallsvariablen 112 6.5 Quadratintegrierbare Zufallsvariablen 122 6.6 Das Lebesgue-Integral bezüglich eines Maßes 125 6.7 Diskrete Zufallsvariablen 127 6.8 Absolutstetige Zufallsvariablen 131 7 Unabhängige Zufallsvariablen und Produktmaße 139 7.1 Produktmaße 139 7.2 Der Satz von Fubini 144 7.3 Unabhängige Zufallsvariablen 149 7.4 Die Kovarianz von Zufallsvariablen 154 7.5 Diskrete Zufallsvariablen 161 7.6 Absolutstetige Zufallsvariablen 167 7.7 Das Null-Eins-Gesetz von Kolmogorov 173 8 Transformationen von Zufallsvariablen mit Dichten 179 8.1 Eindimensionale Verteilungen 179 8.2 Mehrdimensionale Verteilungen 187 9 Charakteristische Funktionen 199 9.1 Definition und elementare Eigenschaften 199 9.2 Der Eindeutigkeitssatz 210 9.3 Summen unabhängiger Zufallsvariablen 211 10 Konvergenz von Zufallsvariablen und Verteilungen 219 10.1 Konvergenz von Zufallsvariablen 219 10.2 Schwache Konvergenz und Konvergenz in Verteilung 226 11 Grenzwertsätze 245 11.1 Das Gesetz der großen Zahlen 245 11.2 Der zentrale Grenzwertsatz 252 11.3 Der Grenzwertsatz von Poisson 256 12 Gauß'sche Zufallsvektoren 259 12.1 Eindimensionale Normalverteilungen 259 12.2 Mehrdimensionale Normalverteilungen 262 12.3 Zweidimensionale Normalverteilungen 272 12.4 Der mehrdimensionale zentrale Grenzwertsatz 277 Schlagworte:Lehrbuch, Mathematik, Stochastik, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Wahrscheinlichkeitstheorie Systematik: TBM Umfang: XIII, 303 S. : Ill., graph. Darst. Standort: TBM Tap ISBN: 978-3-642-37543-9
Inhalt: Eine Vorlesung zur Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie gehört - neben den Standardvorlesungen Analysis und Lineare Algebra - zur Grundausbildung eines jeden Mathematikers. Vielen Studierenden bereitet der Umgang mit dem "Zufall" Schwierigkeiten. Das Ziel des vorliegenden Buches ist, eine leicht lesbare und gründliche Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie zu bieten; eine Vielzahl von anschaulichen und sorgfältig ausgewählten Beispielen soll den Studierenden helfen, den Zufall in den Griff zu bekommen. Dabei ist dem Autor eine klare und vollständige Darstellung der Theorie ebenso wichtig wie Beispiele und Abbildungen, die schwer aussehende Sachverhalte verdeutlichen. In zahlreichen Abbildungen und in über 100 Beispielen wird die Theorie illustriert und in verständlichen Worten formuliert. Der Inhalt des Buches ist klassisch und deckt eine erste Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie - der Theorie des Zufalls - ab.
Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Grundbegriffe 7 2.1 Messbare Räume 7 2.2 Wahrscheinlichkeitsmaße 12 2.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit 18 2.4 Das Lemma von Borel-Cantelli 27 3 Diskrete Verteilungen und Zufallsvariablen 31 3.1 Diskrete Verteilungen 31 3.2 Diskrete Zufallsvariablen und ihr Erwartungswert 39 4 Absolutstetige Verteilungen und Zufallsvariablen 47 4.1 Die Borel'sche a-Algebra 47 4.2 Absolutstetige Verteilungen 49 4.3 Absolutstetige Zufallsvariablen und ihr Erwartungswert 62 5 Verteilungen auf der reellen Achse 69 5.1 Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsmaßen 69 5.2 Erzeugendensysteme der Borel'schen a-Algebra 74 5.3 Verteilungsfunktionen 75 5.4 Diskrete Verteilungen 82 5.5 Absolutstetige Verteilungen 85 6 Zufallsvariablen und ihr Erwartungswert 91 6.1 Zufallsvariablen und Messbarkeit 91 6.2 Der Erwartungswert für elementare Zufallsvariablen 100 6.3 Der Erwartungswert für nichtnegative Zufallsvariablen 103 6.4 Der Erwartungswert für integrierbare Zufallsvariablen 112 6.5 Quadratintegrierbare Zufallsvariablen 122 6.6 Das Lebesgue-Integral bezüglich eines Maßes 125 6.7 Diskrete Zufallsvariablen 127 6.8 Absolutstetige Zufallsvariablen 131 7 Unabhängige Zufallsvariablen und Produktmaße 139 7.1 Produktmaße 139 7.2 Der Satz von Fubini 144 7.3 Unabhängige Zufallsvariablen 149 7.4 Die Kovarianz von Zufallsvariablen 154 7.5 Diskrete Zufallsvariablen 161 7.6 Absolutstetige Zufallsvariablen 167 7.7 Das Null-Eins-Gesetz von Kolmogorov 173 8 Transformationen von Zufallsvariablen mit Dichten 179 8.1 Eindimensionale Verteilungen 179 8.2 Mehrdimensionale Verteilungen 187 9 Charakteristische Funktionen 199 9.1 Definition und elementare Eigenschaften 199 9.2 Der Eindeutigkeitssatz 210 9.3 Summen unabhängiger Zufallsvariablen 211 10 Konvergenz von Zufallsvariablen und Verteilungen 219 10.1 Konvergenz von Zufallsvariablen 219 10.2 Schwache Konvergenz und Konvergenz in Verteilung 226 11 Grenzwertsätze 245 11.1 Das Gesetz der großen Zahlen 245 11.2 Der zentrale Grenzwertsatz 252 11.3 Der Grenzwertsatz von Poisson 256 12 Gauß'sche Zufallsvektoren 259 12.1 Eindimensionale Normalverteilungen 259 12.2 Mehrdimensionale Normalverteilungen 262 12.3 Zweidimensionale Normalverteilungen 272 12.4 Der mehrdimensionale zentrale Grenzwertsatz 277 Schlagworte:Lehrbuch, Mathematik, Stochastik, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Wahrscheinlichkeitstheorie Systematik: TBM Umfang: XIII, 303 S. : Ill., graph. Darst. Standort: TBM Tap ISBN: 978-3-642-37543-9
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